nlog(n): 「偽→真」は常に「真」

Fri October 29, 2004

「偽→真」は常に「真」

calc さんとの話の中でうまい例が思いついたので，まとめてみることにする。論理学の「ならば」の真理値に関する問題である。なぜ「偽の命題を仮定すれば，どんな命題も導き出せる」のか? 「偽を仮定すると，結論がどうであっても常に真」となるのか?

■ ■ ■

古典論理(二値論理)において，含意演算「→」の真理表は次のようになる。p, q はそれぞれ命題を表し，「T」は真(しん)，「F」は偽(ぎ)を表す。

p	q	p→q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

「真→真」は「真」，「真→偽」は「偽」になることは問題ない。仮定が「偽」(p が F)であるとき，結論 q が「真」であっても「偽」であっても「p→q」の命題の値としては「真」になってしまうのは何故なのだろうか? 「長い間これでやってきて困ったことが起きていない」ので，これが正しいことは信頼できるのだが，どうもしっくり来ない。

そこで，次のような例を考えてみた。m を整数としたとき，次の命題は常に真であると言える。

m が 4 で割れるならば，m は 2 で割れる

これは当たり前のように思える。ここで，m に 2 を代入すると，「偽→真」が得られる。命題は常に「真」だったので，「偽→真」の命題も「真」となる。次に m に 3 を代入すると，「偽→偽」の命題が得られ，これも「真」となる。これで「仮定が偽の命題の真理値の問題」を，何となく納得することができる。ちなみに，m に 4 を代入すれば，「真→真」の命題が得られ，結論を逆にした「4 が 4 で割れるならば，4 は 2 で割れない」は「真→偽」の命題であり，真理値は「偽」である。

「賞味期限が昨日」の商品は「偽」である。売ることができないからである。しかし，「製造年月日が明日」の商品は「真」である。そこには，なんでもありの世界が広がっている。こうなってしまっては，賞味期限が昨日であるか1ヶ月後であるかは全く関係がない。「真」が導かれるのである。しかし，どちらか選べと言われたなら，例えそれが偽であったとしても，「賞味期限が昨日」の方を選びたい。

＠IT：個人情報保護法を論理的に読み解くには，

¬(p∧q) = ¬p∨¬q

という論理式が通用しない「法曹界の第一人者」が紹介され，批判が行われている。その批判はもっともで，確かにしっかりしてもらわなければならない。しかし私は，単純に批判してそれで終わりという気にはなれないのだ。例えば，上の例題の逆の命題を考えてみよう。

m が 4 で割れるならば，m は 2 で割れない

ちょっと見ると，この命題は「常に偽」のように思える。しかし，m に代入する整数によっては，真の命題になったりするのである。直感というものは割とあてにならないものなのである。