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問題が単純なのに，解くのに手間がかかる図形問題がある。

数学の問題は，ほとんどの場合問題文が単純なのに解くのが難しい。文字数をコストだとすれば，コストパフォーマンス抜群ということになる。極端な例はフェルマーの最終定理がある(フェルマーの最終定理 - Wikipedia)。こんなにたいそうなものでなくても，簡単な図形問題の中にも，コストパフォーマンスの高い問題というものがある。

学生時代に「こんな問題があるんだけど分かる? 中学生でも解けるらしいんだけど」と教えてもらった問題は，解くのに1週間くらいかかった記憶がある。次の問題である。

問題

∠ABDを求めよ

二等辺三角形ABCがあり，頂角Aの角度は20°である。辺AC上に点DをAD=BCとなるようにとる。∠ABDを求めよ。

ダウンロード: [問題図 (SVG 形式)]

なかなかの難問だが，中学生の知識があれば解ける。三角形の内角の和は180°などの基本的な性質を知っていればよい。補助線をどう引くかが最大のポイントになる。

この問題は，「ラングレーの問題 (Langley's problem)」の系として位置づけられる。ラングレーの問題の本来の形とされるものは，この問題よりも解くのが難しい。5年考えても気がつかなければ解けないくらいである(技術系サラリーマンの交差点: ５年考えて解けなかった問題)。スウガクとくガウス-ラングレーの問題 には，ラングレーの問題とその系が網羅されている。hoshikuzu | star_dust の書斎 | フランクリンの凧 では，先の「5年考えて…」の簡潔なまとめがされている。ラングレーの問題は，円周を18等分して各点を結んだ時に現れる図形がもとになっているそうだ (Trigonometric Form of Ceva's Theorem で解説されている)。そして究極は，このラングレーの問題について，角度を10°刻みで変えることで一般化し，その解法を与えている人がいることである(Langley の問題とその一般化問題の解法[PDF])。その数，実に352通り! 凄すぎる。

この手の図形問題は他にも 中学生からの挑戦状 に紹介されているように沢山ある(Part3 はラングレーの問題)。

最近の私は，問題を解くよりも解答を探す方に力を注いでしまう。「答はどこだ，答はどこにあるんだ!」辛抱強く取り組む根気が失われつつある。それが最大の問題だったりして。

ダウンロード用に用意した SVG 形式のファイルは，フリーのドロー系ソフト Inkscape で編集することができる(Scalable Vector Graphics - Wikipedia)。Inkscape を使って20°の角度を作る手順は次の通り。

1. 垂直に線を引く
2. 描いた線を選択し，「オブジェクト」→「変形...」
3. 「Rotate」タブで 10.000 deg だけ回転
4. 逆の辺は，コピーしてから「オブジェクト」→「水平に反転」で左右反転させて作る

その一週間かかったという私の解答は以下の通り。

三角形 ABC と合同な三角形 AED を AD を底辺として描く (ここがポイント)。三角形 ABC と EDA は合同だったから，∠EAB は 60° となり，三角形 AEB は正三角形であることが分かる。三角形 EBD は頂角 40° の二等辺三角形であるから底角 ∠EBD=70° となり，∠ABD=∠EBD-∠EBA=10° が求められる (解答図形の SVG ファイル)。

2012年12月20日追記: FREEMAN219 さんから別解が届きました。

証明の流れ (詳しい証明): △AB'C' が正三角形であることを使って △ADB≡△B'BC を示す。△ABC' は頂角 A を 40° とする二等辺三角形だから底角は ∠AC'B=70° となる。∠B'C'B=∠AC'B-∠AC'B'=10° より，∠ABD=∠B'C'B=10° が求められる。

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Posted by n at 2007-04-03 23:46 | Edit | Comments (6) | Trackback(0)